Complémentaire d'un ensemble et ensembles disjoints

Définition

Le complémentaire de l'ensemble \(A\) dans \(E\) est l’ensemble des éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\).
Cet ensemble se note : \(E \setminus A\), ou \(\overline A\) et se lit : « \(E\) privé de \(A\) » ou « \(A\) barre ». 
Dans le schéma ci-dessous, l'ensemble \(E \setminus A\) correspond à la partie hachurée.

Exemples

1. Prenons \(E=\{1~;3~;5~;10~;12~;19\}\) et \(A=\{10~;19\}\).
Tout d'abord \(A\subset E\). De plus, \(E\setminus A\) représente l'ensemble des éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\). Ainsi, \(E\setminus A=\{1~;3~;5~;12\}.\)

2. Prenons \(E=\mathbb R\) et \(B=\left]-\infty~;11\right]\). 
Tout d'abord \(B\subset E\). De plus, \(B\) représente tous les nombres inférieurs ou égaux à \(11\). Ainsi, le complémentaire de \(B\) dans \(E\) représente l'ensemble des nombres strictement supérieurs à \(11\).
Finalement, \(E\setminus B=\left]11~;+\infty\right[\).

Définition

Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont disjoints lorsque \(A ∩ B = \emptyset\).
Dans le schéma ci-dessous, les ensembles \(A\) et \(B\) sont disjoints.

Exemples

1. Prenons \(A=\{2~;4~;6~;10~;8~;12~;14\}\) et \(B=\{11~;19~;3~;5~;9\}\).
\(A\) et \(B\) n'ont aucun élément en commun. Ainsi, \(A ∩ B = \emptyset\).

2. Prenons \(A=\left[5\ ;\ 10\right]\) et \(B=\left]-\infty~;3\right]\). 
Ainsi, on cherche des éléments dans \(A\), c'est-à-dire des nombres compris entre \(5\) et \(10\), et en même temps dans \(B\), c'est-à-dire des nombres inférieurs ou égaux à \(3\), ce qui est impossible (pour s'en convaincre on peut également réaliser un schéma en plaçant les deux intervalles).
Ainsi, \(A ∩ B = \emptyset\).